PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Una sucesión de números reales es una progresión aritmética si cada término se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo o diferencia, que suele representarse por d.

EJEMPLO:

La sucesión (3, 8, 13, 18, 23, ...) es una progresión aritmética porque cada término se obtiene sumando 5 al término anterior.

La sucesión (10, 7, 4, 1, -2, ...) es una progresión aritmética porque cada término se obtiene adicionando -3 al término anterior.

En una progresión aritmética

La diferencia de dos términos consecutivos es siempre la misma:

EJEMPLO 2:

En una progresión aritmética, a partir del primer término a₁ y de la diferencia d se puede obtener la expresión del término general a_n.

El término general de una progresión aritmética de primer término a₁  y diferencia d es:

EJEMPLO 3:

Para hallar el término general de las progresiones aritméticas:

a) a_{n  = {3, 8, 13, 18, 23, ... }                         b)} b_{n = {10, 8, 6, 4, 2, ...}}

Se procede así:

A partir de la fórmula el término general de una progresión aritmética, se pueden obtener las siguientes:

EJEMPLO 4:

Si se sabe que en una progresión aritmética,  a₄ = 9 y d = 2, entonces a₁ se calcula así:

 a₁   = 9 - (4 - 1) . 2 = 3

Por tanto, es posible determinar que la progresión está dada por:

{3, 5, 7, 9, 11, ...}

EJERCICIO:

El extracto mensual desde el primer mes de ahorro de una persona se muestra en la siguiente tabla:

a) ¿Cuál era el capital inicial?

b) ¿En cuánto aumenta el capital inicial mes a mes?

c) ¿Cuál es la fórmula general que expresa el monto de capital ahorrado cada mes?

d) ¿Cuál será el monto ahorrado a los siete meses? ¿Y a los doce meses? ¿Y al cabo de dos años?

SOLUCIÓN:

En este caso, los ahorros mensuales forman una progresión aritmética, tal que:

a) El primer término de la progresión es el capital inicial. Luego,  a₁  = 200 000.

b) La diferencia es el ahorro mensual, es decir, d = 10 000.

c) La fórmula que expresa el capital ahorrado cada mes es el término general de la progresión.

Por tanto,  a_n   = a₁    + (n - 1) . d = 200 000 + (n - 1) . 10 000.

d) El monto ahorrado a los siete meses será:

          

 a₇ = 200 000 + (7 - 1) . 10 000 = 260 000

A los doce meses será:   a₁₂ = 200 000 + (12 - 1) . 10 000 = 310 000

A los dos años será:  a₂₄  = 200 000 + (24 - 1) . 10 000 = 430 000